My Matlab LMI Toolbox user guide

LMI Introduction

利用線性矩陣不等式(Linear Matrix Inequalities, LMI)，我們可以求解許多控制上的問題。此處以本人的碩士論文有用到的 LMI 問題為例。考慮以下 LMI 問題:

\[ \begin{bmatrix} \mathbf{A}_0^T \mathbf{P} + \mathbf{P} \mathbf{A}_0 + \varepsilon \mathbf{F}^T \mathbf{F} + \mathbf{Q} & \mathbf{P} \mathbf{E} \\ \mathbf{E}^T \mathbf{P} & - \varepsilon \bm{\mu}^{-1} \end{bmatrix} < 0 \] \[ \mathbf{P} = \mathbf{P}^T > 0, \quad \mathbf{P} = \mathbf{P}^T > 0 \quad, \varepsilon > 0 \]

在 Matlab 中建立 LMI 系统模型，可以被拆解成四個部分:

定義已知參數。(如: $\mathbf{A}_0$、$\mathbf{E}$、$\mathbf{F}$、$\bm{\mu}$)
定義待解矩陣的變數結構與維度。(如: $\mathbf{P}$、$\mathbf{Q}$、$\varepsilon$)
描述每個 LMI 的結構與內容。
求解LMI問題。

在 Matlab 中主要有兩種使用 LMI toolbox 的方法，「使用命令行(.m)」與「使用 GUI 介面 (lmiedit)」。以下內容將會使用命令行，並依據四個部分作範例 code 解說。並介紹其中會用到的 Matlab Function。

Matlab Code Application

定義已知參數

此部分根據系統已知或假設的參數設定 $\mathbf{A}_0$、$\mathbf{E}$、$\mathbf{F}$、$\bm{\mu}$。

範例 Code:

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A0 = [zeros(n) eye(n) zeros(n); zeros(n) zeros(n) eye(n); -Ki -Kp -Kd];

E = [zeros(n) zeros(n) zeros(n); zeros(n) zeros(n) zeros(n); Ki Kp Kd];

% uncertanty parameters
alpha_bar = [inv(T)*inv(J0)*0.2*J0*inv(1.2*J0)*J0*T];
beta_bar = [inv(T)*inv(J0)*0.2*J0*inv(1.2*J0)*J0*T];
nabla = [alpha_bar zeros(n) zeros(n); zeros(n) beta_bar zeros(n); zeros(n) zeros(n) alpha_bar];

F = [eye(n) zeros(n) zeros(n); zeros(n) eye(n) zeros(n); zeros(n) zeros(n) eye(n)];

% uncertainty boundary
mu = nabla*nabla';

定義待解矩陣的變數結構與維度

此處定義 $\mathbf{P}$、$\mathbf{Q}$、$\varepsilon$。先簡單介紹此處會用到的命令:

setlmis: 初始化 LMI toolbox 系統，開始進行 LMI 設定。
lmivar: 定義 LMI 待求解矩陣。

setlmis

LMI 問題在 Matlab 中描述必須以 setlmis 開始，以 getlmis 結束。

setlmis ([])：重置並直接創立一個 LMI 問題。
setlmis (LMISys): 定義變數 LMISys 為一個 LMI 問題。

lmivar

使用命令 lmivar 一次定義一個待解變數，並描述其維度與結構。

X = lmivar(type,structure) : 另一個待解變數 X。
[X,n,sX] = lmivar(type,structure): 另一個待解變數 X，且輸出:
- n:Number of decision variables
- sX:Dependence of X on decision variables

其中 type 與 structure:

type	Description
1	`X` 是一個對稱對角矩陣 (Symmetric matrix with a block diagonal structure)
2	`X` 是一個滿秩長方陣 (Full rectangular matrix)
3	`X` 為其他形式 (Other structure)

當 type = 1:

Structure	Description
`structure(1)`	方形矩陣維度
`structure(2)`	矩陣形式，1: full block ，0: scalar block (a scalar multiple of the identity matrix)，-1: zero block

當 type = 2: 直接定義長矩陣維度($m \times n$) structure = [m,n]
當 type = 3: 自訂矩陣形式，參考 Advanced LMI Techniques。

範例 Code:

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setlmis([]); % initialization
P = lmivar(1, [size(A0,1), 1]); % Specify the structure and size of P
Q = lmivar(1, [size(A0,1), 1]); % Specify the structure and size of Q
epsilon = lmivar(1, [1 1]);  % Specify the structure and size of epsilon

描述每個 LMI 的結構與內容

此處定義 LMI 問題中的每個不等式。先簡單介紹此處會用到的命令:

lmiterm: 添加不等式與設定其結構。
getlmis: 獲得定義 LMI 問題的長陣列。

lmiterm

lmiterm(termID,A,B,flag): 在當前LMI問題中，添加一項(term)到某個不等式中。

termID: 一個四維向量。

termID	Description
`termID(1)`	`+p` 表達在第p個不等式左邊加上，`-p` 表達在第p個不等式右邊加上
`termID(2:3)`	表達矩陣不等式中的位置
`termID(4)`	表達此項(term)的類型，`0`:常數項，`X`:變量$AXB$，`-X`:變量$AX^TB$

A和B分別是常識或變量的左右係數。

當 flag = ’s’時，指定加入項(term)為 $AXB + (AXB)^T$。

預設 LMI 不等式都是求解負定($<0$)。為了求解正定($>0$)不等式，加入項(term)時，將termID(1) 直接設定為-p，將其加在不等式右邊。

getlmis

當 LMI 問題定義完成後，輸入命令: lmis = getlmis。輸出變數 lmis 將會是一個包含LMI問題的長陣列。

範例 Code:

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% Define LMI
lmiterm([1 1 1 P], 1, A0, 's'); % P*A + A'*P
lmiterm([1 1 1 Q], 1, 1); % Q
lmiterm([1 1 1 epsilon], 1, F'*F);
lmiterm([1 1 2 P], 1, E);
lmiterm([1 2 2 epsilon], -1, inv(mu));

lmiterm([-2 1 1 P], 1, 1); % -ID : >0
lmiterm([-3 1 1 Q], 1, 1);
lmiterm([-4 1 1 epsilon], 1, 1);

lmis = getlmis;

求解LMI問題

此處對 LMI 問題 lmis求解。先簡單介紹此處會用到的命令:

feasp: 對給定之 LMI 問題求解。
dec2mat: 獲得 LMI 求解結果。將求出的向量，根據對稱性轉換為普通的矩陣。

feasp

[tmin,xfeas] = feasp(lmis): 對給定之 LMI 問題求解。
- tmin: 代表最佳化問題是否收斂。如果 tmin < 0，則該問題有可行解。如果 tmin > 0，則該問題無可行解。
- xfeas: 用於獲得可行解的變數。

dec2mat

valX = dec2mat(lmis,xfeas,X): 獲得 LMI 求解結果。變將 X 的可行解賦值到 valX。
- lmis: 包含LMI問題的長陣列。
- xfeas: 可行解的變數。
- X: 要提取之待求解變數。

範例 Code:

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[t_min, LMI_Sol] = feasp(lmis);
P_Ans = dec2mat(lmis, LMI_Sol, P);
Q_Ans = dec2mat(lmis, LMI_Sol, Q);
epsilon_Ans = dec2mat(lmis, LMI_Sol, epsilon);

Discussion

至此，我們完整的介紹如何根據範例 LMI 問題，利用 Matlab 命令求解。LMI toolbox 為一個方便求解 LMI 問題的工具。需要注意的是: LMI toolbox 找不到可行解的 LMI 問題不代表可行解不存在，且其找到之可行解不保證為最優解。就如同所有最佳化問題與最佳化演算法一樣，LMI 問題的求解過程也是一種最佳化求解，不能保證其找到全域最佳解。

Reference

[1] Guang-Ren Duan、Hai-Hua Yu, “LMIs in Control Systems Analysis Design and Applications”

[2] P. Gahinet, A. Nemirovski, A. J. Laub, and M. Chilali, “LMI Control Toolbox,” p. 356.